Dalil Menelaus pada Segitiga dan Pembuktiannya – Mathsteria

          Pada artikel kali ini kita akan membahas materi dalil menelaus pada segitiga yang merupakan bagian dari “geometri bidang datar” yang ada pada matematika peminatan kelas X. Silahkan baca juga materi “Dalil Titik Tengah dan Perpotongan Segitiga” untuk lebih melengkapi materi yang ada.

Konsep Dalil Menelaus pada Segitiga

       Diberikan sebuah segitiga ABC, titik D terletak pada garis AC dan titik E terletak pada garis BC. Kemudian titik D dan E dihubungkan membentuk garis DE. Garis AB dan DE diperpanjang sehingga keduanya berpotongan di titik F seperti nampak pada gambar berikut.

Dalil Menelaus berbunyi :
Titik D, E, dan F segaris (Kolinear)
jika dan hanya jika memenuhi $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $.

Untuk memudahkan dalam mengingat, perhatikan alur panah berikut :

Contoh soal Dalil Menelaus pada Segitiga :
1). Dari gambar berikut, tentukan nilai $ x $?

Penyelesaian :
*). Panjang LO = OM sehingga $ \frac{LO}{OM} = 1 $.
*). Kita menggunakan dalil Menenlaus pada segitiga :
$ \begin{align} \frac{LO}{OM} . \frac{MN}{NK} . \frac{KP}{LP} & = 1 \\ 1 . \frac{2}{3} . \frac{8+x}{8} & = 1 \\ \frac{16 + 2x}{24} & = 1 \\ 16 + 2x & = 24 \\ 2x & = 8 \\ x & = 4 \end{align} $
Jadi, panjang $ x = 4 $.

2). Perhatikan gambar berikut,

Tentukan nilai $ y $?
Penyelesaian :
*). Panjang PS = SR sehingga $ \frac{PR}{RS} = \frac{2}{1} $.
*). Langsung kita gunakan dalil menelaus :
$ \begin{align} \frac{ST}{TU} . \frac{UQ}{QP} . \frac{PR}{RS} & = 1 \\ \frac{2}{y}. \frac{4x}{x} . \frac{2}{1} & = 1 \\ \frac{16}{y} & = 1 \\ y & = 16 \end{align} $
Jadi, panjang $ y = 16 $.

3). Diketahui gambar seperti berikut dengan BE : EC = 2 : 3
dan AB : FB = 5 : 3. Tentukan nilai AD : AC?

Penyelesaian :
*). Nilai AB : FB = 5 : 3 sehingga AF : FB = 8 : 3 .
*). Langsung kita gunakan dalil menelaus :
$ \begin{align} \frac{BE}{EC} . \frac{CD}{DA} . \frac{AF}{FB} & = 1 \\ \frac{2}{3} . \frac{CD}{DA} . \frac{8}{3} & = 1 \\ \frac{CD}{DA} . \frac{16}{9} & = 1 \\ \frac{CD}{DA} & = \frac{9}{16} \end{align} $
Karena nilai CD : DA = 9 : 16 , maka AD : AC = 16 : 25.
Jadi, nilai AD : AC = 16 : 26 .

4). Pada segitiga ABC, titik D terletak pada sisi AB dengan perbandingan AD : DB = 2 : 3 dan titik E terletak pada sisi BC dengan perbandingan BE : EC = 5 : 4 seperti gambar berikut.

Tentukan :
a). perbandingan luas AOD dan luas COE,
b). perbandingan luas AOD dan luas segiempat EODB,
c). perbandingan luas AOC dan luas segiempat EODB.
Penyelesaian :
Kita menggunakan dalil Menelaus dan luas segitiga dengan tinggi sama.
*). perbandingan DO : OC dengan dalil Menelaus
$ \begin{align} \frac{DO}{OC} . \frac{CE}{EB} . \frac{BA}{DA} & = 1 \\ \frac{DO}{OC} . \frac{4}{5} . \frac{5}{2} & = 1 \\ \frac{DO}{OC} . 2 & = 1 \\ \frac{DO}{OC} & = \frac{1}{2} \end{align} $
*). perbandingan EO : OA dengan dalil Menelaus
$ \begin{align} \frac{EO}{OA} . \frac{AD}{DB} . \frac{BC}{EC} & = 1 \\ \frac{EO}{OA} . \frac{2}{3} . \frac{9}{4} & = 1 \\ \frac{EO}{OA} . \frac{3}{2} & = 1 \\ \frac{EO}{OA} & = \frac{2}{3} \end{align} $
Sehingga gambar lengkapnya :

*). Misalkan [ABC] menyatakan luas segitiga ABC.
Kita misalkan juga luas AOD adalah $ [AOD]= x $.
*). Perhatikan segitiga ADC,
$\Delta$AOD dengan alas DO dan $\Delta$AOC dengan alas OC memiliki tinggi yang sama yaitu misalkan $t_1$.
$ \begin{align} \frac{[AOC]}{[AOD]} & = \frac{\frac{1}{2}.OC.t_1}{\frac{1}{2}.DO.t_1} \\ \frac{[AOC]}{x} & = \frac{ OC }{DO} \\ \frac{[AOC]}{x} & = \frac{ 2 }{1} \\ [AOC] & = 2x \end{align} $
*). Perhatikan segitiga ACE,
$\Delta$AOC dengan alas AO dan $\Delta$COE dengan alas OE memiliki tinggi yang sama yaitu misalkan $t_2$.
$ \begin{align} \frac{[COE]}{[AOC]} & = \frac{\frac{1}{2}.OE.t_2}{\frac{1}{2}.AO.t_2} \\ \frac{[COE]}{2x} & = \frac{ OE }{AO} \\ \frac{[COE]}{2x} & = \frac{ 2 }{3} \\ [COE] & = \frac{4}{3}x \end{align} $
sehingga : [ACD] = [AOD] + [AOC] = $ x + 2x = 3x $.
*). Perhatikan segitiga ABC,
$\Delta$ACD dengan alas AD dan $\Delta$BCD dengan alas DB memiliki tinggi yang sama yaitu misalkan $t_3$.
$ \begin{align} \frac{[BCD]}{[ACD]} & = \frac{\frac{1}{2}.DB.t_3}{\frac{1}{2}.AD.t_3} \\ \frac{[COE] + [EODB]}{3x} & = \frac{ DB }{AD} \\ \frac{\frac{4}{3}x + [EODB]}{3x} & = \frac{3 }{2} \\ \frac{4}{3}x + [EODB] & = \frac{9}{2}x \\ [EODB] & = \frac{9}{2}x – \frac{4}{3}x \\ [EODB] & = \frac{19}{6}x \end{align} $

*). Menentukan perbandingan masing-masing soal,
a). perbandingan luas AOD dan luas COE,
$ \begin{align} \frac{[AOD]}{[COE]} = \frac{x}{\frac{4}{3}x} = \frac{3}{4} \end{align} $.
b). perbandingan luas AOD dan luas segiempat EODB,
$ \begin{align} \frac{[AOD]}{[EODB]} = \frac{x}{\frac{19}{6}x } = \frac{6}{19} \end{align} $.
c). perbandingan luas AOC dan luas segiempat EODB.
$\begin{align} \frac{[AOC]}{[EODB]} = \frac{2x}{\frac{19}{6}x } = \frac{12}{19} \end{align} $.

Cara II :
untuk soal 4 bagian (b). perbandingan luas AOD dan luas segiempat EODB
Perhatikan gambar berikut, kita tarik garis DE.

*). Misalkan luas AOD adalah $ [AOD]=x$,
*). Perhatikan segitiga ADE,
$\Delta$AOD dengan alas AO dan $\Delta$DOE dengan alas OE memiliki tinggi yang sama yaitu misalkan $t_1$.
$ \begin{align} \frac{[DOE]}{[AOD]} & = \frac{\frac{1}{2}.OE.t_1}{\frac{1}{2}.AO.t_1} \\ \frac{[DOE]}{x} & = \frac{ OE }{ AO } \\ \frac{[DOE]}{x} & = \frac{ 2 }{ 3 } \\ [DOE] & = \frac{ 2 }{ 3 }x \end{align} $
sehingga : [ADE] = [AOD] + [DOE] = $ x + \frac{ 2 }{ 3 }x = \frac{ 5 }{ 3 }x $.
*). Perhatikan segitiga AEB,
$\Delta$AED dengan alas AD dan $\Delta$BED dengan alas DB memiliki tinggi yang sama yaitu misalkan $t_2$.
$ \begin{align} \frac{[BED]}{[AED]} & = \frac{\frac{1}{2}.DB.t_2}{\frac{1}{2}.AD.t_2} \\ \frac{[BED]}{\frac{ 5 }{ 3 }x} & = \frac{ DB }{ AD } \\ \frac{[BED]}{\frac{ 5 }{ 3 }x} & = \frac{ 3 }{ 2 } \\ [BED] & = \frac{ 3 }{ 2 } . \frac{ 5 }{ 3 }x \\ [BED] & = \frac{ 5 }{ 2 }x \end{align} $
sehingga : [EODB] = [BED] + [DOE] = $ \frac{ 5 }{ 2 }x + \frac{ 2 }{ 3 }x = \frac{ 19 }{ 6 }x $.
*). perbandingan luas AOD dan luas segiempat EODB,
$ \begin{align} \frac{[AOD]}{[EODB]} = \frac{x}{\frac{19}{6}x } = \frac{6}{19} \end{align} $.

Pembuktian Dalil Menelaus pada Segitiga Dengan Konsep Kesebangunan

       Proyeksi titik A, B, dan C pada garis DEF, akan diperoleh seperti gambar berikut.

Hasil proyeksi titik A pada garis DEF adalah titik P.
Hasil proyeksi titik B pada garis DEF adalah titik R.
Hasil proyeksi titik C pada garis DEF adalah titik Q.

Dua bangun datar dikatakan sebangun jika perbandingan sisi yang bersesuaian sama.
*). $\Delta $BER sebangun dengan $\Delta $QEC , sehingga :
perbandingannya : $ \frac{BE}{EC} = \frac{BR}{QC} \, $ ….pers(i).
*). $\Delta $CDQ sebangun dengan $\Delta $ADP , sehingga :
perbandingannya : $ \frac{CD}{DA} = \frac{QC}{PA} \, $ ….pers(ii).
*). $\Delta $BRF sebangun dengan $\Delta $APF , sehingga :
perbandingannya : $ \frac{AF}{FB} = \frac{PA}{BR} \, $ ….pers(iii).
*). Kalikan ketiga perbandingan yang diperoleh :
$ \begin{align} \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} & = \frac{BR}{QC}\times \frac{QC}{PA}\times \frac{PA}{BR} = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear),
maka berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $ .

Pembuktian Dalil Menelaus pada Segitiga dengan Luas segitiga

       Perpanjang garis ED, kemudian beri titik P dan Q serta hubungan beberapa titik seperti gambar berikut.

*). Kita misalkan $ [ABC] \, $ menyatakan luas segitiga ABC.
*). Menentukan perbandingan BE : EC .
*). Perhatikan $\Delta$BPC,
$\Delta$BPE dengan alas BE dan $\Delta$EPC dengan alas EC memiliki tinggi yang sama misalkan $ \, t_1 $.
$ [BPE] = \frac{1}{2}.BE . t_1 \, $ dan $ [EPC] = \frac{1}{2}.EC.t_1 $
*). Perhatikan $\Delta$BQC,
$\Delta$BQE dengan alas BE dan $\Delta$EQC dengan alas EC memiliki tinggi yang sama misalkan $ \, t_2 $.
$ [BQE] = \frac{1}{2}.BE . t_2 \, $ dan $ [EQC] = \frac{1}{2}.EC.t_2 $
*). Menentukan luas segitiga BQP dan luas segitiga CQP .
$ [BQP] = [BQE]-[BPE] $.
$ [BQP] = \frac{1}{2}.BE.t_2 – \frac{1}{2}.BE . t_1 = \frac{1}{2}.BE . (t_2 – t_1) $.
$ [CQP] = [EQC]-[EPC] $ .
$ [CQP] = \frac{1}{2}.EC.t_2 – \frac{1}{2}.EC.t_1 = \frac{1}{2}.EC.(t_2-t_1) $ .
*). Perbandingan BE : EC ,
$ \begin{align} \frac{[BQP]}{[CQP]} & = \frac{\frac{1}{2}.BE . (t_2 – t_1)}{\frac{1}{2}.EC.(t_2-t_1)} \\ \frac{[BQP]}{[CQP]} & = \frac{BE}{EC} \end{align} $
Kita peroleh : $ \frac{BE}{EC} = \frac{[BQP]}{[CQP]} \, $ ….pers(a).

Dengan cara yang sama kita peroleh :
*). Menggunakan segitiga APC dan segitiga AQC kita peroleh,
Perbandingan : $ \frac{CD}{DA} = \frac{[CQP]}{[AQP]} \, $ ….pers(b).
*). Menggunakan segitiga APF dan segitiga AQF kita peroleh,
Perbandingan : $ \frac{AF}{FB} = \frac{[AQP]}{[BQP]} \, $ ….pers(c).

*). Kalikan ketiga perbandingan yang diperoleh :
$ \begin{align} \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} & = \frac{[BQP]}{[CQP]} \times \frac{[CQP]}{[AQP]} \times \frac{[AQP]}{[BQP]} = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear),
maka berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $ .

Pembuktian Dalil Menelaus pada Segitiga dengan Aturan Sinus

       Perhatikan gambar berikut,

untuk aturan sinus, silahkan baca materinya di “Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga“.

Kita terapkan aturan sinus pada segitiga yang ada berikut,
*). Segitiga CDE,
$ \frac{CE}{\sin \angle CDE} = \frac{CD}{\sin \angle CED} \rightarrow \frac{CD}{CE} = \frac{\sin \angle CED}{\sin \angle CDE} \, $ ….pers(1).
*). Segitiga ADF,
$ \frac{AF}{\sin \angle ADF} = \frac{AD}{\sin \angle AFD} \rightarrow \frac{AF}{AD} = \frac{\sin \angle ADF}{\sin \angle AFD} \, $ ….pers(2).
*). Segitiga BEF,
$ \frac{EB}{\sin \angle EFB} = \frac{FB}{\sin \angle BEF} \rightarrow \frac{EB}{FB} = \frac{\sin \angle EFB}{\sin \angle BEF} \, $ ….pers(3).
Catatan :
$ \sin \angle CED = \sin \angle BEF , \, \sin \angle EFB = \sin \angle AFD $.
dan $ \sin \angle ADF = \sin (180^\circ – \angle CDE ) = \sin \angle CDE $.
*). Kalikan ketiga persamaan yang diperoleh :
$ \begin{align} \frac{CD}{CE} . \frac{AF}{AD} . \frac{EB}{FB} & = \frac{\sin \angle CED}{\sin \angle CDE} . \frac{\sin \angle ADF}{\sin \angle AFD} . \frac{\sin \angle EFB}{\sin \angle BEF} \\ \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} & = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear),
maka berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $ .

       Sebelumnya telah terbukti dari kiri ke kanan :
Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear),
maka berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $ .

Misalkan perpanjangan garis DE pada perpanjangan sisi AB di titik F’, cukup kita tunjukkan F = F’.
Dari pembuktian dari kiri ke kanan, maka berlaku :
$ \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF’}{F’B} = 1 \, $ ….pers(i).
Sementara dari arah kanan ke kiri berlaku :
$ \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 \, $ ….pers(ii).
Dari pers(i) dan pers(ii), kita peroleh :
$ \frac{AF’}{F’B} = \frac{AF}{FB} $
artinya F = F’, sehingga garis DEF’ berimpit dengan garis DEF karena titik F dan F’ sama. Sehingga terbukti bahwa titik D, E, dan F segaris (kolinear), atau lebih lengkapnya :
Jika berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 , \, $
maka titik D, E, dan F segaris (Kolinear).