Misalkan $a_1, a_2, \cdots, a_n$ dan $b_1, b_2, \cdots, b_n$ adalah deretan bilangan real. Demikianlah yang terjadi
$$(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \ge (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2.$$Kesetaraan berlaku jika dan hanya jika $$\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \cdots = \dfrac{a_n}{b_n}.$$
Untuk memahami lebih dalam mengenai materi ini, berikut disediakan soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat.
Jika Anda ingin mencari paket soal ini dalam bentuk mengajukan PDF, Anda dapat mengakses ke folder soal matematikacyber1997.com dengan mendaftar di bit.ly/Akses_Soal. Folder soal tersebut juga berisi soal UTBK-SNBT, soal TKA, soal persiapan CPNS-PPPK, soal psikotes, soal TPA, soal ujian masuk perguruan tinggi (termasuk STAN), soal kompetisi matematika (termasuk OSN dan ON MIPA), dan masih banyak lagi.
Bagian Esai
Untuk setiap bilangan real positif $a, b,$ dan $c,$ buktikan bahwa
$$(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right) \ge 9.$$
Pembahasan
Perhatikan bahwa
$$(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right)$$dapat ditulis dalam bentuk yang melibatkan kuadrat, yaitu
$$\kiri[(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 + (\sqrt{c})^2\right] \kiri[ \left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\right].$$Kemudian, dengan menggunakan pertidaksamaan Cauchy-Schwarz, diperoleh
$$\mulai{sejajar} \kiri[(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 + (\sqrt{c})^2\right] \kiri[ \left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\right] & \ge \left(\sqrt{a} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{a}} + \sqrt{b} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{b}} + \sqrt{c} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{c}}\right)^2 \\ & \ge (1 + 1 + 1)^2 \\ & \ge 3^2 \\ & \ge 9. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa
$$(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right) \ge 9.$$ $\blacksquare$
[collapse]
Tentukan nilai maksimum dari $x + 2y + 3z$ dengan $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ untuk setiap bilangan real $x, y,$ dan $z.$ Tentukan juga nilai $x, y,$ dan $z$ sehingga nilai maksimum tersebut tercapai.
Pembahasan
Bilangan real $x, y,$ dan $z$ diketahui memenuhi $x^2 + y^2 + z^2 = 1.$ Dengan menggunakan pertidaksamaan Cauchy-Schwarz, diperoleh
$$\begin{aligned} (1x + 2y + 3z)^2 & \le (1^2 + 2^2 + 3^2)(x^2 + y^2 + z^2) \\ (1x + 2y + 3z)^2 & \le (1 + 4 + 9)(1) \\ (1x + 2y + 3z)^2 & \le 14. \end{aligned}$$Dari pertidaksamaan terakhir, diperoleh
$$-\sqrt{14} \le x + 2y + 3z \le \sqrt{14}.$$Ini berarti, $\sqrt{14}$ merupakan nilai maksimum dari $x + 2y + 3z.$
Nilai maksimum ini tercapai ketika perbandingan berikut berlaku.
$$x : y : z = 1 : 2 : 3.$$Artinya, $y = 2x$ dan $z = 3x.$ Diketahui $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ sehingga substitusi menghasilkan
$$\begin{aligned} x^2 + (2x)^2 + (3x)^2 & = 1 \\ x^2 + 4x^2 + 9x^2 & = 1 \\ 14x^2 & = 1 \\ x^2 & = \dfrac{1}{14} \\ x & = \dfrac{1}{\sqrt{14}}. \end{aligned}$$Akibatnya, $y = \dfrac{2}{\sqrt{14}}$ dan $z = \dfrac{3}{\sqrt{14}}.$
Jadi, nilai maksimum tersebut ketika $x = \dfrac{1}{\sqrt{14}},$ $y = \dfrac{2}{\sqrt{14}},$ dan $z = \dfrac{3}{\sqrt{14}}.$
[collapse]
Tentukan nilai maksimum dari $\sqrt{x} + \sqrt{3x-2} + \sqrt{5-4x}$ untuk setiap bilangan real $x.$ Tentukan juga nilai $x$ sehingga nilai maksimum tersebut tercapai.
Pembahasan
Dengan menggunakan pertidaksamaan Cauchy-Schwarz diperoleh
$$\begin{aligned} \kiri(1\sqrt{x} + 1\sqrt{3x-2} + 1\sqrt{5-4x}\kanan)^2 & \le (1^2 + 1^2 + 1^2)((\sqrt{x})^2 + (\sqrt{3x-2})^2 + (\sqrt{5-4x})^2 \ \kiri(1\sqrt{x} + 1\sqrt{3x-2} + 1\sqrt{5-4x}\kanan)^2 & \le (3)(x + (3x-2) + (5-4x)) \\ \left(1\sqrt{x} + 1\sqrt{3x-2} + 1\sqrt{5-4x}\kanan)^2 & \le (3)(3) \\ \left(1\sqrt{x} + 1\sqrt{3x-2} + 1\sqrt{5-4x}\right)^2 & \le 9. \end{aligned}$$Karena $\sqrt{x} + \sqrt{3x-2} + \sqrt{5-4x}$ tidak mungkin bernilai negatif, Haruslah pertidaksamaan terakhir hanya mengimplikasikan
$$\sqrt{x} +\sqrt{3x-2} + \sqrt{5-4x} \le 3.$$Jadi, nilai maksimum dari bentuk tersebut adalah $3.$
Nilai maksimum ini tercapai ketika perbandingan berikut berlaku.
$$\sqrt{x} : \sqrt{3x-2} : \sqrt{5x-4} = 1 : 1 : 1..$$Ini berarti, kita peroleh
$$\begin{aligned} \sqrt{x} & = \sqrt{3x-2} \\ x & = 3x-2 \\ x & = 1. \end{aligned}$$Jadi, nilai maksimum tersebut tercapai ketika $x = 1.$
[collapse]
PakarPBN
A Private Blog Network (PBN) is a collection of websites that are controlled by a single individual or organization and used primarily to build backlinks to a “money site” in order to influence its ranking in search engines such as Google. The core idea behind a PBN is based on the importance of backlinks in Google’s ranking algorithm. Since Google views backlinks as signals of authority and trust, some website owners attempt to artificially create these signals through a controlled network of sites.
In a typical PBN setup, the owner acquires expired or aged domains that already have existing authority, backlinks, and history. These domains are rebuilt with new content and hosted separately, often using different IP addresses, hosting providers, themes, and ownership details to make them appear unrelated. Within the content published on these sites, links are strategically placed that point to the main website the owner wants to rank higher. By doing this, the owner attempts to pass link equity (also known as “link juice”) from the PBN sites to the target website.
The purpose of a PBN is to give the impression that the target website is naturally earning links from multiple independent sources. If done effectively, this can temporarily improve keyword rankings, increase organic visibility, and drive more traffic from search results.
